动力系统

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[拼音]:dongli xitong

[外文]:dynamic system

自然界中常出现一些随时间而演变的体系,如行星系、流体运动、物种绵续等等,这样的一些体系,如果都有数学模型的话,则它们的一个共同的最基本的数学模型是:有一个由所有可能发生的各种状态构成的集合X并有与时间t有关的动态规律φt:X→X。这样,一个状态x∈X随时间t变动而成为状态φt(x)。如果X是欧几里得空间或一般地是一个拓扑空间,时间t佔满区域(-

),动态规律φt还满足其他简单且自然的条件(见拓扑动力系统),则得一动力系统。这时,过每一点x∈X有一条轨线,即集合{φt(x)|t∈(-

)}。

如果X是一欧氏空间,或较广地是一光滑流形,且动力系统φt:X→X在每一x∈X处对t可微:

,则称这系统为常微分方程组

或常微系统S 所产生。其逆,若X是紧致光滑流形,其上先给有一C1常微系统S 则据基本的常微分方程理论,S 恒产生一动力系统。这里,S 是C 1的,即S 对x连续地可微。

如上所述,动力系统理论与常微分方程定性理论中所探讨的内容似无多大的区分,然而有不同的侧面,动力系统著重在抽象系统而非具体方程的定性研究,其研究办法著眼于一族轨线间的相互关系,换言之,是整体性的。这整体性有些是拓扑式的,也有些是统计式的;后者主要是遍历性。动力系统理论是经典常微分方程式论的一种发展。

动力系统的研究,19世纪末期即已开端,早在1881年起的若干年里,(J.-)H.庞加莱开始了常微分方程定性理论的研究,讨论的课题(如稳定性、周期轨道的存在及回归性等)以及所用研究方法的著眼点,即为后来所说的动力系统这一数学分支的创始。G.D.伯克霍夫从1912年起的若干年里,以三体问题为背景,扩充套件了动力系统的研究,包括他得出的遍历性定理。在他们关心的天体力学或哈密顿系统的领域中,多年后出现了以太阳系稳定性为背景的柯尔莫哥洛夫-阿诺尔德-莫泽扭转定理。从1931年起的若干年时间里,以Α.Α.马尔可夫总结伯克霍夫理论、正式提出动力系统的抽象概念为开端,苏联学者进一步推动了动力系统理论的发展。

近二十多年来,动力系统的研究又产生了质的变化。这导源于结构稳定性的研究。这方面的主要成果许多是在X是紧致光滑流形M的情况下得出的。M上的C1常微系统S,如果充分小的C1扰动不改变S 的相图结构,就称它为结构稳定的。也就是说:若M上任一C1常微系统Z充分靠近S,则有M到其自身上的一拓扑变换把S的轨线映到Z的轨线(这里所谓充分靠近是就C1意义下来说的)。结构稳定性这一概念之所以广泛为人们接受,是由于在实际应用中所取的数学模型,比起真实现象来,往往经过了简化,因此要使所取模型成为有效,就希望虽有小扰动仍能有某种程度不变的结构。显然,从这个意义下的稳定性出发的动力系统理论,不仅涉及每一单个常微系统的相图的整体性,也要涉及同一流形上由许多常微系统作成的集合的整体性,换言之,这是大范围的。

常微系统结构稳定性的概念首先由Α.Α.安德罗诺夫和Л.С.庞特里亚金于1937年就某类平面常微分方程组提出,但隔了二十多年,在M.佩克索托给出了二维结构稳定系统稠密性定理后,才受到人们的重视,因为二维闭曲面上的结构稳定系统不仅有较简单的相图结构,且任一C1常微系统都可以由结构稳定系统来任意地靠近。在流形维数大于2时,是否也有同样的结论,这个问题激发了人们对微分动力系统的研究,后来清楚了,在高维情况下结构稳定系统的相图一般很复杂,且稠密性定理不再成立。

以S.斯梅尔为首的数学家们在微分动力系统研究方面作出了重要贡献,其影响历久不衰。比如具有双曲构造的紧致不变子集到现在仍然是许多具体课题的根苗。既然高维情况下稠密性定理不再成立,这就介入了具有异常复杂性的分岔问题,但这也许更符合自然界中出现的一些“混沌”现象。近年来人们关心的洛伦茨奇异吸引子及费根鲍姆现象很有启发性,目前这方面的研究已渗入到物理、化学、生物等许多科学领域中。

参考书目

M. W. Hirsch,The Dynamical Systems Approach to Differential Equations,Bull. AMS.(New Series), Vol.11,No 1, pp. 1~63, 1984.

S. Smale,The Mathematics of Time,Springer-Verlag,New York, 1980.

郝柏林:分岔、混沌、奇异吸引力、湍流及其他,《物理学进展》,3,pp.329~415,1983。

J.Guckenheimer and P.Holmes,Nonlinear Oscillations,Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields,Springer-Verlag, New York, 1983.

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